三角函数是数学中的一个重要分支，主要研究角度与直角三角形边长之间的关系。在解决几何问题、物理学的波动现象分析以及工程学的各种计算中，三角函数都扮演着不可或缺的角色。本文将简要介绍三角函数的基本公式。

一、基本定义

三角函数通常基于直角三角形来定义。假设有一个直角三角形，其中一个角为θ（非直角），则：

- 正弦函数（sin）：对边比斜边，即 \( \sin(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} \)

- 余弦函数（cos）：邻边比斜边，即 \( \cos(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} \)

- 正切函数（tan）：对边比邻边，即 \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \)

二、重要公式

1. 勾股定理：在直角三角形中，\( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \)，这是由正弦和余弦的定义直接得出的。

2. 商的关系：\( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \)，这个公式展示了正切函数与正弦和余弦函数之间的关系。

3. 倒数关系：正割（sec）、余割（csc）和余切（cot）分别是正弦、余弦和正切的倒数，即 \( \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}, \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}, \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} \)。

4. 和差公式：用于计算两个角度的正弦、余弦和正切之和或差，如 \( \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \)，\( \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \)。

5. 倍角公式：用于计算特定角度的两倍角的正弦、余弦和正切，例如 \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)，\( \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \)。

这些基本公式构成了三角函数理论的基础，并且在解决各种实际问题时提供了强大的工具。理解和熟练运用这些公式对于学习更高级的数学概念和应用至关重要。